磁体是如何工作的？140年前的“15谜题”启发解答物理谜团

 

人们自古以来就知道磁体，但铁磁性的物理特性仍然是个谜。现在，一个熟悉的谜题让物理学家们离答案更近一步。

1880年有几个月，整个美国都染上了一种前所未见的瘾。1880年3月12日，堪萨斯州恩波里亚的一篇新闻报道写道:“不夸张地讲，这种瘾已经席卷全国，整个城市都心不在焉。男人为其疯狂为其失眠。”这种“流行病”蔓延到欧洲，甚至传到了澳大利亚和新西兰。

当时这种“疾病”困扰着人们：即一款名为“15谜题”(15-puzzle)的简单得令人沮丧的机械游戏。我们今天对它依然不陌生。这个谜题由一个4x4格子组成，滑动其中有15个编号的数字块并将数字按顺序排列。

以今天的标准来看，这个游戏似乎有些古怪，但在1880年，它可是风靡一时。报道继续写道:“没有哪个孩子会因为自己太幼稚而不被它的娱乐力征服，也没有哪个人会因为精力旺盛或者身居高位而摆脱它的魅力。”玩这个游戏的挫败感可能来自于数学上已经证明的事实，即这个游戏只有一半可解。(上瘾的人可能不知道这一点)。

140年后的今天，15谜题再次激发了人们的兴趣，这一次它不再是让人分心的罪魁祸首，而是作为了解一个看似毫不相关、复杂得多的谜题的途径：即磁体是如何工作的。

像我们冰箱上的那种永磁体有磁性的原因是因为一种叫做铁磁性的现象。在铁磁体中，电子的自旋排列在一起，共同形成一个磁场。具体点讲，铁、钴和镍等金属表现出流动的铁磁性，即它们的电子可以在其内部自由移动。每个电子还有一个固有磁矩，但是要准确地理解所有这些磁矩如何以及为什么排列在磁体中，需要计算所有电子之间的量子相互作用，这是非常复杂的。

约翰霍普金斯大学物理学家李依(音译)说：“流动铁磁性实际上是理论凝聚态物理学中最难的问题之一。”

但是李同她的两个研究生Eric Bobrow和Keaton Stubis，可能离解决这个问题更近了一点。利用15谜题的数学运算，他们进一步阐述了一个著名的定理，该定理描述了一个理想情况下的流动铁磁性。在他们发表在物理评论B(Physical Review B)杂志上的新分析中，他们延伸了这个定理来解释一个更广泛、更现实的系统，这可能会导致一个关于磁体如何工作的更严格的模型的产生。

“这篇论文很出色。”加州大学圣地亚哥分校的物理学家丹尼尔·阿洛瓦斯(Daniel Arovas)说道，“特别是因为对流动铁磁体的严谨研究结果少之又少，所以我非常喜欢这篇论文。”

基本上，金属中的电子必须遵守两大约束条件。首先，因为它们都带负电荷，所以会互相排斥。此外，电子必须遵循泡利不相容原理，即没有哪两个粒子可以处于相同的量子态。这意味着具有相同“自旋”性质的电子(电子自旋与电子磁矩成正比)不可能在金属的原子周围处于相同的量子态。然而，两个自旋相反的电子可以。

事实证明，要使自由运动的全部电子既可以相互排斥，又满足泡利不相容原理的约束，最简单的方法就是让它们保持距离，让它们的自旋排列，从而形成铁磁性。

但这只是一个简化的说法。物理学家一直没有找到一个详尽的模型来解释这种有序排列的自旋模式是如何从单个电子之间的无数量子相互作用中产生的。例如，李解释说，一个电子的波函数(量子性质的复杂数学描述)可以与另一个电子的波函数纠缠在一起。若要充分理解单个粒子的行为是如何导致铁磁性的集体现象的，则需要追踪系统中每个电子的波函数，因为它们的波函数会通过相互作用不断地重塑其他电子的波函数。在实际中，这种普遍的纠缠使得描述铁磁性所需要的完整的、严谨的方程不可能写下来。

相反，像李这样的物理学家正试图通过研究更简单的可以捕捉到铁磁性的基本物理性质的理想化模型以深入了解。特别是她最近的工作进一步阐述了50多年前的一个里程碑式的发现。

二十世纪六十年代中期，两名来自地球两端的物理学家各自提出了一个证明，解释了为什么电子应该排列并形成铁磁状态。当时是剑桥大学物理学家的戴维·索利斯(David Thouless，后来获得了2016年的诺贝尔奖)和访问加州大学圣地亚哥分校的名古屋大学物理学家Yosuke Nagaoka分别在1965年和1966年发表了他们的证明。后来他们的证明被称为Nagaoka-thouless定理(即Nagaoka定理)，但是该结果依赖于原子晶格上的电子的理想系统。因此，它没有解释真实世界中的磁体，尽管如此，它仍然很重要，因为它第一次在原则上展示了为什么电子自旋应该排列。因为他们的分析经由数学证明，所以很精确，不受物理中典型的近似的影响。

你可以想象一个二维的方形晶格以便理解这个定理。每个顶点可以容纳两个自旋相反的电子，但是该定理假设两个电子需要无限的能量来占据自己的位置。这样就确保了每个小晶格中只有一个电子。在这个构型中，每个电子可以向上或向下旋转。它们不一定要排列成直线，所以系统不一定是铁磁的。

现在拿走一个电子。剩下的一个空位，我们把它称之为“孔”。相邻的电子可以滑入孔中，留下另一个空位。另一个电子可以冲进新的孔中，留下另一个孔。通过这种方式，孔的位置不断变换，在晶格内穿梭。索利斯和Yosuke发现，在这种情况下，只要加上一个孔，电子就会自发排列。经他们证明，这是最低的能态——铁磁体。

Arovas解释说，要使系统处于最低的能态，孔必须在不干扰电子自旋结构的情况下自由移动——而这一过程需要额外的能量。然而，随着孔的移动，电子也会四处移动。为了使电子在不改变自旋构型的情况下运动，电子必须排列整齐。

东京大学物理学家Masaki Oshikawa说:“Nagaoka定理是少数几个可以用数学方法证明铁磁性的例子之一。但从物理学的角度来看，这这种做法是人为的。”

例如，两个电子克服相互间的排斥力并在同一个位置上稳定下来需要消耗大量的能量，但不是定理所要求的无限能量。Nagaoka-Thouless定理也只适用于正方形或三角形等简单的二维晶格或者三维立方晶格。然而，在自然界中，铁磁性出现在许多具有各种结构的金属中。

如果Nagaoka-Thouless定理真的解释了铁磁性，那么它应该适用于所有晶格。李说，人们认为情况可能就是这样。“但没有人真正给出明确的证据。直到现在都没有。”

1989年，日本学习院大学的物理学家Hal Tasaki对这个定理进行了某种程度的扩展，发现只要一个晶格具有一种称为连通性的数学性质，这一定理就适用。以只有一个可移动孔的正方形晶格为例，如果在移动这个孔之后，你可以在保持自旋加快和自旋减慢的电子数量的同时，创造出每一个自旋构型，那么连通性条件就满足了。

但是除了正方形和三角形的晶格和三维的立方晶格外，我们不清楚在其他情况下是否满足连通条件，也就无法知晓这个定理是否可以更普遍地适用。

为了解决这个问题，李从六边形蜂窝网格入手。当她的学生Bobrow和Stubis研究这个问题时，他们意识到这个问题类似于十九世纪的15谜题。只要把晶格里的的标签从数字换成自旋向上或自旋向下，这个谜题就相当于Nagaoka铁磁体——有一个孔，这个孔可以在晶格里的电子中移动。

可以重新排序里面的小晶格得到想要的任何序列时，谜题就解决了，这正是连通性条件的含义。所以对于一个特定的晶格来讲，是否满足连通条件就变成了这样一个问题：即有这样结构的同等谜题是否可解。

事实证明，早在1974年，一位名叫理查德·威尔逊(Richard Wilson)的数学家(现在就职于加州理工学院)，就已经发现了这个问题，并对15谜题的所有晶格进行了推广和求解。作为他证明的一部分，他证明了对于几乎所有的不可分离格(即顶点在移除一个顶点后仍然保持连接的格)，只要你移动偶数次，你就可以通过移动晶格得到任何你想要的构型。唯一的例外是单个的至少四个边的多边形和所谓的θ0(其中一个顶点在一个六边形的中心连接到两个相反的顶点。)

研究人员可以直接将威尔逊证明的结果应用于Nagaoka-Thouless定理。对于单孔电子系统，他们证明了几乎所有晶格都满足连通条件，包括二维蜂窝和三维菱形晶格等常见结构。但是有两个例外——至少四个边的多边形和θ0图——这两个结构在一个现实的铁磁体中找不到。

加州大学圣克鲁兹分校的物理学家斯利拉姆·沙思特里(Sriram Shastry)说，使用15谜题是一种全新的、可能会带来丰硕成果的方法。他说：“他们引入了新的“语言”，一套新的与图论的联系，这点我很喜欢。我认为这种联系是丰富的——它可以成为未来深刻见解的丰富来源。”但是，尽管这项研究让我们向前迈出了重要的一步，但是问题仍然没有得到解决。

沙思特里说，一个复杂的问题是，当移动的孔绕晶格旋转，需要走奇数步时，Nagaoka-Thouless定理就并不总是有效。然而，也许最突出的问题是，这个定理要求只存在一个洞——不多不少。然而，在金属中，孔洞大量存在，经常占据晶格的一半。

但是物理学家已经尝试将这个定理推广到多孔系统。通过数值计算，物理学家们发现，Nagaoka 铁磁性似乎适用于一个有限尺寸的正方形晶格，该晶格中有30%的孔。目前这一论文将精确解析技术应用于二维蜂窝格和三维金刚石格。对蜂巢形晶格来讲，只要孔的数量小于晶格格位的1/2次方，在菱形晶格中这一数字是2/5次方，那么Nagaoka铁磁性似乎就存在。

这些精确的解决方案可以得到一个更完整的流动铁磁性模型。李说:“这只是为将来的研究建立严谨的数学起点迈出的一小步。”

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